Aritmetinės progresijos – tai skaičių sekos, kuriose kiekvienas narys (išskyrus pirmąjį) gaunamas prie prieš tai einančio nario pridedant tą patį skaičių, vadinamą skirtumu. Šios sekos pasižymi nuostabia tvarka ir nuspėjamumu, o jų savybes galima apibūdinti naudojant formules. Šiame straipsnyje išnagrinėsime dvi pagrindines aritmetinių progresijų formules: n-tojo nario formulę ir pirmųjų n narių sumos formulę.
N-tojo nario formulė
Norėdami rasti bet kurį aritmetinės progresijos narį, galime naudoti šią formulę:aₙ = a₁ + (n - 1)d
kur:
aₙ – n-tasis progresijos narys
a₁ – pirmasis progresijos narys
d – progresijos skirtumas
n – nario eilės numeris
Ši formulė leidžia mums lengvai apskaičiuoti bet kurio nario reikšmę, žinant tik pirmąjį narį ir skirtumą. Pavyzdžiui, jei turime progresiją 2, 5, 8, 11…, kurios pirmasis narys yra 2, o skirtumas yra 3, tai penktąjį narį galime rasti taip:a₅ = 2 + (5 - 1) * 3 = 14
Pirmųjų n narių sumos formulė
Norėdami rasti pirmųjų n aritmetinės progresijos narių sumą, galime naudoti šią formulę:Sₙ = n/2 * (a₁ + aₙ)
kur:
Sₙ – pirmųjų n narių suma
n – narių skaičius
a₁ – pirmasis narys
aₙ – n-tasis narys
Šią formulę galima išvesti naudojant įžvalgų Gauso metodą. Jis pastebėjo, kad jei sudedame pirmąjį ir paskutinį narį, antrąjį ir priešpaskutinį ir t.t., visų porų sumos bus vienodos. Taigi, bendrą sumą galime rasti padauginę šią vienodą sumą iš porų skaičiaus, kuris lygus n/2.
Pavyzdžiui, jei norime rasti pirmųjų 10 narių sumą toje pačioje progresijoje (2, 5, 8, 11…), pirmiausia randame dešimtąjį narį (a₁₀ = 29), o tada skaičiuojame sumą:S₁₀ = 10/2 * (2 + 29) = 155
Praktinis pritaikymas
Aritmetinių progresijų formulės yra galingas įrankis, kuris gali būti naudojamas įvairiose srityse, pavyzdžiui:
Finansai: Palūkanų skaičiavimas, investicijų grąžos prognozavimas.
Fizika: Kūnų judėjimo dėsningumų aprašymas (pvz., laisvojo kritimo atveju).
Informatika: Algoritmų analizė ir sudėtingumo vertinimas.
Aritmetinės progresijos formulės leidžia mums lengvai analizuoti ir spręsti uždavinius, susijusius su šiomis sekomis. Suprasdami šias formules, galime geriau įvertinti matematinę harmoniją, slypinčią paprastuose skaičių dėsningumuose.
Share:
Komentarų dar nėra! Jūs pirmieji komentuojate.
